二零二五年十一月 第二期
蓋天說
在沒有現代科學與儀器的年代，人們只能憑肉眼與簡單器具，為頭頂的天空尋找秩序。東西方在這條道路上形成了不同的宇宙模型：西方有托勒密的地心幾何體系，中國則有「蓋天說」和「渾天說」。多數人更熟悉圍繞「天球」構想、即「渾天如雞子，地如雞中黃」的「渾天說」，此說在漢代以後取代了更早的「蓋天說」；但若從科學思維的角度，「蓋天說」同樣具有獨到意義。
「蓋天說」的歷史演變
「蓋天說」分新舊兩版。舊說源於商周之际的古老觀念「天圓如張蓋，地方如棋局」，即所謂「天圓地方」，可能與人在草原遙望時產生的感受有關。但此說會引出「四角不掩」的疑問，於是有人進一步主張天地其實並不相接，而是由八柱支撐、形如涼亭；《淮南子》所載「共工怒觸不周山」，遂致「天傾西北，地不滿東南」，便出於這一構想。另外，也有學者認為「地方」是指東南西北四個方向[1]。
成書於戰國至秦漢之際的《周髀算經》，提出了較為成系統的修正版新說。此書以「勾股定理」（畢氏定理）聞名，核心在於以平面幾何推演宇宙模型。「周髀」為周地所立、長八尺的測圭表，全書托古而作，以周公與商高的對話展開。書中關鍵語句為「天象蓋笠，地法覆盤」。對此，學界大致有兩解：其一主張「雙重球面」模型，並據此質疑書中後續的平面幾何方法不相合；其二認為「蓋笠」「覆盤」皆指圓形平面，中央（地上為「璇璣」，天上為北天極）有同樣高度的凸起，接近「天地平行」的模型[2]。
本文重點介紹《周髀算經》所建構的系統化的「蓋天說」，並且為了使書中隨後的推演成立，以下討論將採用「天地平行」的解讀。
《周髀算經》的「蓋天說」：中國古代唯一的「公理化」嘗試
從實用角度看，「渾天說」確較「蓋天說」先進，因其圍繞至今仍用於觀測與解釋星象的「天球」模型。然而，從科學思維角度，「蓋天說」卻擁有更重大的意義，它是中國歷史上唯一一次以「公理化方法」嘗試構建、並達致數理自洽的幾何宇宙模型[3]。
「公理化方法」由古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》提出，對科學發展影響深遠。其要點可概括為三項：以不證自明的基本假設為公理；公理與定理間清晰的演繹關係；以觀測結果檢驗定理。缺少「公理化方法」的使用，是中國古代科學在後期發展變慢的重要原因。《周髀算經》是第一次也是最後一次，「公理化方法」在中國古代的實踐，值得我們認真了解。
「天地平行」與「寸影千里」：《周髀算經》「蓋天說」的兩大公理
「公理化方法」由公理（基本假設）開始。除「天地平行」這一公理外，另一個既有趣亦最具爭議的公理是「寸影千里」。此故事廣泛出現於漢代典籍。相傳周公占卜定都洛陽，以其近郊登封為「地中」，而此地夏至正午八尺圭表的影長，則成為「天下之中」的天文標準（《周髀算經》取一尺六寸，非實際洛陽的一尺五寸，而是採用更早的堯都平陽、今陶寺遺址的數據）。而從此地向北或向南每移一千里，影長便增減一寸。原文：
「周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也。正晷者，句也。正南千里，句一尺五寸。正北千里，句一尺七寸。」
《周髀算經》正是據「天地平行」與「寸影千里」兩大公理，「以尺量天」，演繹出「天高80,000里」與「地中至夏至日下16,000里」等結論。原文：
「夏至南萬六千里。」
「從此以上至日，則八萬里。」
（註：「句」指表影，「里」約250米，「尺」約25厘米，「寸」約2.5厘米。）
「以尺量天」的三種解釋
此經典的「以尺量天」演繹方法有三種解釋。
第一種解釋，是利用「勾股重差術」（《海島算經》有詳細解說）[4]。用現代理解，可用兩組相似三角形聯立二元二次方程求解。
日高 (H) = 表高 (h) × 表間距 (l) ÷ 影差 (G2 – G1) + 表高 (h) = 80,000里
「地中」至夏至日下 (L) = 「地中」表影 (G1) × 表間距 (l) ÷ 影差 (G2 – G1) =16,000里
同理可推，「地中」到冬至日下距離為135,000里。
已知天高後，配合觀測北極星的仰角，可用相似三角形可算出「地中」到極下距離為103,000里。
不過，此解釋方法雖然影長值與實測接近，但「夏至影差一寸」所需距離和實測出入甚大。在南北朝時何承天就組織實測，在平陽一帶，約二百五十里影長就差一寸。
第二種解釋用以回應上述疑問。書中所記另一觀測：在當日影為六尺時，用長八尺、徑一寸的窺管觀日（安全提示：切勿模仿直視太陽！），所見太陽視直徑（實測0.53°）與外管口（實測0.72°）接近。結合當時普遍接受的公理（如班固《白虎通》所载「日月徑千里」，《周髀算經》中取日徑1,250里），再以相似三角形推算，可得出同樣的日高（H）與「地中」至夏至日下（L）[5]。進一步運用相似三角形，可得：地面表每移動一千里（可平移至天空，假想為太陽移動一千里以便理解），日影便移動一寸，並非實測[6]。
第三種解釋，「千里」指的是從最古老的「地中」，即堯都平陽（陶寺遺址），至後周公所測新「地中」登封約千里。《周髀算經》採用古數據，並與新數據對比，得出「日影千里差一寸」。這並非謬誤，而是因兩地並非正南北走向[7]。
「七衡六間」宇宙模型
有了上述若干測量數據後，《周髀算經》開始構建宇宙模型，用以解釋三類基本日常天象：四季（節氣）變化、晝夜交替、日出日落方向及晝夜長短變化。為此，書中提出經典的「七衡六間」模型：太陽隨節氣變化，在距北天極不同遠的衡圈（即圓周）上切換軌道，並每日於其所在衡圈繞極點旋轉。具體設定為：夏至日道半徑119,000里（「地中」至夏至日下16,000里＋「地中」至極下103,000里）；冬至日道半徑238,000里（「地中」至冬至日下135,000里＋「地中」至極下103,000里），二者為倍數關係[8]。其餘節氣按等間距插入其間（中氣在衡圈上運行，非中氣則在衡圈間運行）[9]。
既然太陽被設想為在離地八萬里高處作平面運動，為何會有日出日落？為此，書中提出一項創造性的公理性基本假設：「人望所見，遠近宜如日光所照」，意思是人眼的可視範圍和陽光能夠照射到的範圍一樣有限且固定，太陽一旦離開太遠就不會引起視覺反應，用以解釋晝夜交替。这也被視為近代「旋轉星圖」的早期原型之一，「蓋天家」以青圖畫（中間有洞口的地盤：周地人眼可見範圍）與黃圖畫（天盤：七衡六間和星宿）相疊，並轉動下方黃圖使用[10]。
為盡量對應不同季節的日出日落方位，《周髀算經》將可視日照半徑設定為167,000里。隨太陽在不同軌道間切換，晝夜長短與日出日落方位亦隨之改變：處於外衡圈時，晝短夜長，日出日落方位偏南；內衡圈則相反[11]。由此，一套可統攝多種天象的宇宙模型遂告成形。
然而，如前所述，合格的「公理化方法」必須以觀測結果檢驗其推論。「蓋天說」與實際不符之處甚多。最明顯的是：若依「七衡六間」模型的弧長計算，中衡（春秋分）時雖然日出日落接近正東西方，但夜長為晝長三倍，與實際的晝夜平分相去甚遠；又如太陽在冬至日道每日行程為夏至日道的兩倍，須以倍速運行，亦與觀測不合[12]。以上問題遂成為「蓋天說」在後世爭論中不敵「渾天說」的關鍵理據。
我們能從「蓋天說」學到什麼？
「蓋天說」的根本問題，在於將僅適用於測量山高與遠近的平面幾何小尺度模型，誤用來構建宇宙模型；同時亦欠缺地球圍繞太陽公轉等近代觀念。儘管如此，其以「公理化方法」立說的雄心、對幾何與計算的積極運用、近似「旋轉星圖」的創造性構想，仍值得學習。這正說明：即使面對科學史中的「錯誤」，仍能幫助我們界定模型的適用邊界、警惕範式的侷限、激發方法論創新。「錯誤」並非無益。
天文導師
藍青
參考資料：
[1]徐鳳先 《天空之光如何照亮文明——中國早期天文學與文明若干問題研究》
[2]江曉原《〈周髀算經〉通識》
[3]江曉原 《〈周髀算經〉——中國古代唯一的公理化嘗試》
[4]張海潮 《重訪重差術》
[5]孫小淳 楊柳《〈周髀算經〉的“公理系統”是如何建立的？》
[6]江曉原《〈周髀算經〉通識》
[7]徐鳳先 《天空之光如何照亮文明——中國早期天文學與文明若干問題研究》
[8]孫小淳 楊柳《〈周髀算經〉的“公理系統”是如何建立的？》
[9]陳久金《中國古代天文曆法》
[10]潘鼐《中國恆星觀測史》
[11]孫小淳 楊柳《〈周髀算經〉的“公理系統”是如何建立的？》
[12]孫小淳 楊柳 林正心《中國量天尺》
